初中结束学业生升学考试数学几何帮忙线99条规律

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本文选自《郭氏数学郭老师》的博客

规律19

把大问题细化成各个小问题,从而各个击破,解决问题。在我们对一个问题还没有切实的解决方法时,要善于捕捉可能会帮助你解决问题的着眼点。例如:在一个非直角三角形中出现了特殊的角,那你应该马上想到作垂直构造直角三角形。因为特殊角只有在特殊形中才会发挥作用。再比如:在圆中出现了直径,马上就应该想到连出90°的圆周角。遇到梯形的计算或者证明问题时,首先我们心里必须清楚遇到梯形问题都有哪些辅助线可作,然后再具体问题具体分析。

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中。

1、对基础知识的掌握一定要牢固,在这个基础上我们才能谈如何学好的问题

1.三角形问题添加辅助线方法

有下列情况时常作三角形中位线。

举个例子,已知A,B,C三点共线,分别以AB,BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE,如果再没有其他附加条件,那么你能从这个图形中找到哪些结论?

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

规律21

图片 1

在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

证明两条线段相等的步骤:

3、熟悉解题的常见着眼点,常用辅助线作法

(6)平移对角线

⑴有一边中点;

举个例子说,如果题目中说到梯形的腰的中点,你想到了什么?你必须想到以下几条:第一你必须想到梯形的中位线定理;第二你必须想到可以过一腰的中点平移另一腰;第三你必须想到可以连接一个顶点和腰的中点然后延长去构造全等三角形。只有这几种可能用到的辅助线烂熟于心,我们才能很好的解决问题。其实很多时候我们只要抓住这些常见的着眼点,试着去做了,那么问题也就迎刃而解了。另外只要我们想到了,一定要肯于去尝试,只有你去做了才可能成功。

(9)作中位线

有等弧时常作辅助线有以下几种:

在初中数学的学习中,几何一直是大多数学生的难题,那么学习几何到底有没有捷径呢?我们又应该怎样来学习几何呢?

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

⑴作顶角的平分线,底边中线,底边高线

总之,学好几何必须在牢固掌握基础知识的基础上注意平时的点滴积累,善于归纳总结,熟悉解题的常见着眼点,当然做到这些必须要有一定数量的习题积累,我们并不提倡题海战术,但做适量的习题还是必要的,只有量的积累才能达到质的飞跃。

(4)两圆相切作公切线

规律1

在几何的学习中,经常会遇到分两种或多种情况来解的问题,那么我们怎么能更好的解决这部分问题呢?这要靠平时的点滴积累,对比较常见的分情况考虑的问题要熟悉。例如说到等腰三角形的角要考虑是顶角还是底角,说到等腰三角形的边要考虑是底还是腰,说到过一点作直线和圆相交,要考虑点和圆有三种位置关系,所以要画出三种图形。这样的情况在几何的学习中是非常常见的,在这里不一一列举,但大家在做题时一定要注意考虑到是否要分情况考虑。很多时候是你平常注意积累了,你心里有了这个问题,你做题时才会自然而然的想到。

对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

规律3

2、善于归纳总结,熟悉常见的特征图形

在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。

当已知条件中有切线时,常作过切点的半径,利用切线的性质定理证题。

例如我们在证明相似的时候,如果利用两边对应成比例及其夹角相等的方法时,必须注意所找的角是两边的夹角,而不能是其它角。在回答圆的对称轴时不能说是它的直径,而必须说是直径所在的直线。像这样的细节我们必须在平时就要引起足够的重视并且牢固掌握,只有这样才是学好几何的基础。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

注意:同学们在学习几何时,可以把自己证完的题进行适当变换,从而使自己通过解一道题掌握一类题,提高自己举一反三、灵活应变的能力。

如果我们通过很多习题能够总结出:一般情况下题目中如果有两个有公共顶点的等边三角形就必然会出现一对旋转式的全等三角形的结论,这样我们很容易得出△ABE≌△DBC,在这对全等三角形的基础上我们还会得出△EMB≌△CNB,△MBN是等边三角形,MN∥AC等主要结论,这些结论也会成为解决其它问题的桥梁。在几何的学习中这样典型的图形很多,要善于总结。

每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。举例如下:

如果矩形对角线相交所成的钝角为120o,则矩形较短边是对角线长的一半。

本文选自北冥垂叟的博客,点击查看原文

(5)两圆相交作公共弦

规律11

4、考虑问题全面也是学好几何至关重要的一点

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有:

有等腰三角形时常用的辅助线

(1)在梯形内部平移一腰。

规律72

(2)见直径作圆周角

若菱形有一内角为120°,则菱形的周长是较短对角线长的4倍。

(5)过梯形上底的两端点向下底作高

中考数学辅助线99条规律知识点

方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。

规律47

(8)特殊角直角三角形

如果平面上有n(n≥2)个点,其中任何三点都不在同一直线上,那么每两点画一条直线,一共可以画出n(n-1)条。

有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系。

①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中,然后证这两个三角形全等。

3.梯形中常用辅助线的添法

规律98

4.圆中常用辅助线的添法

规律90

(4)延长两腰

规律82

(4)直角三角形斜边上中线基本图形

规律9

(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。

平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长之差等于邻边之差。

1.按定义添辅助线:

⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题

(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形

三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角,等于第三个内角的一半。

(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。

规律31

方法2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题。

规律29

(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:

规律25

(1)见弦作弦心距

截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段;

(2)等腰三角形是个简单的基本图形:

规律95

相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形),相交线型,旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法。

如果一条直线上有n个点,那么在这个图形中共有线段的条数为n(n-1)条。

(9)半圆上的圆周角

规律4

二、基本图形的辅助线的画法

规律58

(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线

延长梯形两腰使它们交于一点,把梯形转化成三角形。

辅助线对于同学们来说都不陌生,解几何题的时候经常用到。当题目给出的条件不够时,我们通过添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这便是辅助线的作用。一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。所以我们要学会巧妙的添加辅助线。

规律32

当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键。

任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中,不相邻的两条线段的平方和相等。

2.按基本图形添辅助线:

规律76

方法1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。

有角平分线时,常过角平分线上的点向角两边做垂线,利用角平分线上的点到角两边距离相等证题。

(5)三角形中位线基本图形

⑵涉及有关锐角三角函数值时。

(3)见切线作半径

规律93

平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:

⑶加倍小角

(1)连对角线或平移对角线:

规律67

(3)梯形内平移两腰

连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形。

(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。

构造直角三角形经常通过作垂线来实现。

(1)平行线是个基本图形:

有下列情况时常构造梯形中位线

当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1:1:√2;30度角直角三角形三边比为1:2:√3进行证明

②a±b=c

一、添辅助线有二种情况:

⑵作斜边中线,当有下列情况时常作斜边中线:

出现直径与半圆上的点,添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样。

规律44

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半。

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积。

(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。

规律5

(6)全等三角形:

①a>b

全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

规律16

对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

规律2

(2)梯形外平移一腰

有弧中点(或证明是弧中点)时,常有以下几种引辅助线的方法:

方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。

在一个图形中,有多个垂直关系时,常用同角(等角)的余角相等来证明两个角相等。

命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。

⑵有底边中点时,常作底边中线

如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

⑴当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可。

(7)相似三角形:

⑶涉及梯形上、下底和

当两直线平行时,同位角的角平分线互相平行,内错角的角平分线互相平行,同旁内角的角平分线互相垂直。

⑴有特殊角时,如有30°、45°、60°、120°、135°角时。

等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形。

规律22

连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形。

规律28

从三角形的一个顶点作高线和角平分线,它们所夹的角等于三角形另外两个角差(的绝对值)的一半。

三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。

条件不足时延长已知边构造三角形。

圆中解决有关弦的问题时,常常需要作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)这一辅助线,一是利用垂径定理得到平分弦的条件,二是构造直角三角形,利用勾股定理解题。

任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

规律46

规律34

规律41

规律13

规律78

规律6

规律52

规律10

③如果没有相等的线段代换,可设法作辅助线构造全等三角形。

规律75

有中点时常构造垂直平分线。

规律53

规律61

规律51

规律74

规律65

有梯形一腰中点时,常过此中点作另一腰的平行线,把梯形转化成平行四边形。

有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角。

规律92

图片 2

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

⑵连结等弧所对的弦

规律26

规律71

规律80

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

规律45

截长补短作辅助线的方法

有梯形一腰中点时,也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交,把梯形转换成三角形。

从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。

有弦中点时,常构造三角形中位线。

平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等。

有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n-1)个。

规律87

规律40

⑴作斜边上的高

等腰直角三角形斜边的长等于直角边的√2倍。

规律33

连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形。

在三角形中有中线时,常加倍延长中线构造全等三角形。

从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形和三角形。

⑴作等弧所对的弦

规律7

规律35

平行四边形一边(或这边所在的直线)上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形,利用勾股定理证题。

规律17

图片 3

平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。

规律66

线段(或延长线)上任一点分线段为两段,这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。

规律79

当图形中有叉线(基本图形如下)时,常作平行线。

中考数学辅助线99条规律知识点

规律68

②有和斜边倍分关系的线段时

在含有30°角的直角三角形中,60°角所对的直角边是30°角所对的直角边的√3倍。

⑶有两边(或两边以上)中点。

规律56

规律20

规律60

有平行线时常作平行线构造平行四边形。

规律89

①有斜边中点时

有以线段中点为端点的线段时,常加倍延长此线段构造全等三角形。

有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段。

规律42

⑴有一腰中点

证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。

规律39

连接四边形的对角线,把四边形问题转化成三角形来解决问题。

⑵有线段倍分关系;

②若图中没有全等三角形,可以把求证线段用和它相等的线段代换,再证它们所在的三角形全等。

⑵有两腰中点

注意:利用三角形三边关系定理及推论证题时,常通过引辅助线,把求证的量(或与求证有关的量)移到同一个或几个三角形中去然后再证题。

当已知或求证中,涉及到以下情况时,常构造直角三角形。

有二倍角时常用的辅助线

平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形。

规律97

在证明直线和圆相切时,常有以下两种引辅助线方法:

有直径时常作直径所对的圆周角,再利用直径所对的圆周角为直角证题。

有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”。

从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线,把梯形转化成一个矩形和两个三角形。

正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等。

有角平分线时常在角两边截取相等的线段,构造全等三角形。

互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。

规律49

规律48

⑶连结等弧所对的圆心角

有正方形一边中点时常取另一边中点。

⑶作等弧所对的圆周角

⑵作等弧所对的圆心角

规律70

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

当证题缺少线段相等的条件时,可取某条线段中点,为证题提供条件。

连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。

三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。

规律15

有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来。

规律91

规律38

规律43

规律81

③a±b=c±d

任意四边形的对角线互相垂直时,它们的面积都等于对角线乘积的一半。

规律73

互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。

⑵如果不知直线与圆是否有交点时,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径的长即可。

三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等。

规律36

规律50

规律37

补短法:延长较短线段和较长线段相等。

⑴连结过弧中点的半径

规律69

有弦中点时常连弦心距。

⑵平分二倍角

如果平面内有n条直线都经过同一点,则可构成n(n-1)对对顶角。

规律14

圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半。

利用正方形进行旋转变换。旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时,可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法。旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来,从而为证题创造必要的条件。旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中。

平面上若有n(n≥3)个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形一共可作出n(n-1)(n-2)个。

圆上有四点时,常构造圆内接四边形。

圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半。

成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。

规律85

规律84

规律59

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

规律64

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边构造三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再利用三边关系定理及不等式性质证题。

规律86

规律30

有线段中点时,常过中点作平行线,利用平行线等分线段定理的推论证题。

规律63

中考数学辅助线99条规律知识点

规律55

规律23

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法:

中考数学辅助线99条规律知识点

平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半。

规律88

直角三角形中,如果较长直角边是较短直角边的2倍,则斜边是较短直角边的√5倍。

有垂直时可作垂线构造矩形或平行线。

平面上有n条直线相交,最多交点的个数为n(n-1)个。

规律77

梯形有底的中点时,常过中点做两腰的平行线。

有以正方形一边中点为端点的线段时,常把这条线段延长,构造全等三角形。

在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形外角的位置上,小角处在内角的位置上,再利用外角定理证题。

有垂直弦时也常作直径所对的圆周角。

中考数学几何考试难点就是辅助线,为此爱智康中考数学频道特收集汇总了中考数学辅助线99条规律知识点,推进给广大中考考生。

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

规律57

规律12

规律54

有中线时延长中线(有时也可在中线上截取线段)构造平行四边形。

规律24

规律96

图片 4

有垂直时常构造垂直平分线。

规律94

平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中,不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半。

规律27

规律8

两圆相交时,常连结两圆的公共弦。

直角三角形常用辅助线方法:

连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形。

规律18

相似形和解直角三角形部分

如果平面内有n条直线都经过同一点,则可构成小于平角的角共有2n(n-1)个。

等腰梯形的对角线互相垂直时,梯形的高等于两底和的一半(或中位线的长)。

当证题有困难时,可结合已知条件,把图形中的某两点连接起来构造全等三角形。

这两种方法统称截长补短法。

规律62

规律83

规律99

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